Discendente della nobile famiglia Rudio, figlio del giureconsulto Giambattista, già governatore dell’abbazia di Moggio, E. R. nacque a Cividale intorno alla metà del secolo XVI. Si laureò in filosofia e medicina a Padova, dove ebbe per maestro Girolamo Fabrici d’Acquapendente. Fu medico condotto ad Udine a partire dal 19 marzo 1595 («Si conducono medici Alvise Federicis con ducati 500, Camillo Carga con ducati 250, Eustachio Rudio con ducati 250»); lo era certamente ancora nel 1598 quando gli venne concesso di recarsi a Spittal a visitare la moglie inferma del conte di Ortenburg (per questo consulto la città ricevette lettere di ringraziamento dal conte medesimo). In quell’anno, il Senato veneto chiamò il R. a sostituire il defunto Alessandro Massaria, professore all’Università di Padova, in qualità di lettore ordinario di medicina pratica. Nello studio patavino E. R. percorse i gradi accademici (nel 1602 era professore ordinario di pratica medica; nel 1611 professore «primario loco»), e lucrò i corrispettivi emolumenti (nel 1603: 1000 fiorini; nel 1609: 1000 scudi), che investì proficuamente nell’ascrizione alla nobiltà udinese che data al 31 luglio 1609 e nell’acquisto dei feudi di Goricizzo, Visco e Gradiscutta da Raimondo della Torre e Valsassina, della cui giurisdizione comitale venne investito dall’arciduca Ferdinando d’Austria il 26 aprile 1611. Morì a Udine il 1° settembre 1612. Anche con lo pseudonimo di Ioannes Donatellus Castilionensis, pubblicò varie opere che gli dettero una discreta notorietà. Ricordato dal contemporaneo Gabriel Naudé, da Cesare Orsino nel poemetto maccheronico Ad Eustachium medium Equitem, nelle lodi intessute da Girolamo Sini all’Epitome Medica (probabilmente, l’Ars medica). Le sue opere furono a lungo ristampate: così, i saggi di anatomia, a Parma e a Bologna da Longhi nel 1687; venne riesumato a metà Ottocento da Zecchinelli, che ne sottolineò la «produttiva risonanza» su William Harvey, scolaro a Padova ai tempi della docenza di E. R., e sulla sua Exercitatio anatomica de motu cordis et sanguinis in animalibus (pubblicata a Frankfurt nel 1628). In realtà, come ha ben dimostrato Florens, E. R. si limitava a divulgare, con qualche fraintendimento, sia negli scritti che nell’insegnamento, le dottrine di Realdo Colombo e di Andrea Cisalpino, che in vario modo superavano la concezione galenica, pur senza giungere ad una concezione coerente della circolazione chiusa del sangue.